Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 x \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ x \end{array}]$

Étape 1

La transformation définit un mappage de

R^{2}

$ℝ^{2}$ à

R^{2}

$ℝ^{2}$ . Pour prouver que la transformation est linéaire, elle doit conserver la multiplication scalaire, l’addition et le vecteur zéro.

M :

R^{2} \to R^{2}

$ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Étape 2

Commencez par prouver que la transformée préserve cette propriété.

M (x + y) = M (x) + M (y)

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Étape 3

Définissez deux matrices pour tester si la propriété d’addition est préservée pour

M

$M$ .

M ([\begin{matrix} x_{1} x_{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} y_{1} y_{2} \end{matrix}])

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Étape 4

Ajoutez les deux matrices.

M [\begin{matrix} x_{1} + y_{1} x_{2} + y_{2} \end{matrix}]

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Étape 5

Appliquez la transformation au vecteur.

M (x + y) = [\begin{matrix} 0 x_{1} + y_{1} \end{matrix}]

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Étape 6

Séparez le résultat en deux matrices en regroupant les variables.

M (x + y) = [\begin{matrix} 0 x_{1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 y_{1} \end{matrix}]

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ y_{1} \end{array}]$

Étape 7

Comme la propriété d’addition de transformation n’est pas respectée, ce n’est pas une transformation linéaire.

M (x + y) \neq M (x) + M (y)

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$